Newton-Raphson İterasyon Yöntemi
Çok değişkenli bir denklem sistemin nasıl çözüleceğini tartışmadan önce, bir N boyutlu fonksiyonunun Taylor serisi açılımını gözden geçirmek faydalı olacaktır .
Bir değişkenli Newton-Raphson Yöntemi \(f(x)=0\) benzer olarak genelleştirilebilir.
\(\left\{\begin{matrix}
f_1\left ( x_1,\cdots ,x_n \right )=f_1\left ( \mathbf{x} \right )
\\ f_2\left ( x_1,\cdots ,x_n \right )=f_2\left ( \mathbf{x} \right )
\\ \cdots \\
f_n\left ( x_1,\cdots ,x_n \right )=f_n\left ( \mathbf{x} \right )
\end{matrix}\right.\)
burada,
\(\mathbf{x}=\left [ x_1,\cdots ,x_n \right ]^{T}\)
\(\mathbf{f\left (x\right )}=\left [ f\left (\mathbf{x_1}\right ),\cdots ,f\left (\mathbf{x_n}\right ) \right ]^{T}\)
\(\mathbf{f\left (x\right )}=0\)
Taylor serisi açılımı ile,
\(\begin{matrix}
f_i\left ( \mathbf{x}+\delta \mathbf{x} \right ) = f_i\left ( \mathbf{x} \right )+\displaystyle\sum_{j=1}^{N}\frac{\partial f_i\left ( \mathbf{x} \right )}{\partial x_j}\delta x_j+O\left ( \partial x^{2} \right ) \\
\approx f_i\left ( \mathbf{x} \right )+\displaystyle\sum_{j=1}^{N}\frac{\partial f_i\left ( \mathbf{x} \right )}{\partial x_j}\delta x_j
\end{matrix}\)
\(N\) adet denklemi vektör formunda yazarsak,
\(\begin{matrix}
f\left ( \mathbf{x}+\delta \mathbf{x} \right ) =\displaystyle\begin{bmatrix}
f_1\left ( \mathbf{x}+\delta \mathbf{x} \right ) \\ \vdots \\ f_N\left ( \mathbf{x}+\delta \mathbf{x} \right )
\end{bmatrix} \\
\approx \displaystyle\begin{bmatrix}
f_1\left ( \mathbf{x} \right ) \\
\cdots \\
f_n\left ( \mathbf{x} \right )
\end{bmatrix}+
\displaystyle\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_N} \\
\vdots & \ddots &\vdots \\
\frac{\partial f_N}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_N}{\partial x_N}
\end{bmatrix}
\end{matrix} \)
\( f\left ( \mathbf{x}+\delta \mathbf{x} \right ) =f\left ( \mathbf{x} \right )+\mathbf{J_f}\left ( \mathbf{x} \right )\delta \mathbf{x} \)
Burada \( \mathbf{J_f}\left ( \mathbf{x} \right ) \), \(f\left ( \mathbf{x} \right )\) fonksiyonunun \(NxN\) boyutlu Jacobian matrisidir.
\(\mathbf{J_f}\left ( \mathbf{x} \right ) =\displaystyle\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_N} \\
\vdots & \ddots &\vdots \\
\frac{\partial f_N}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_N}{\partial x_N}
\end{bmatrix}\)
Matrisin ij'inci elemanı \(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\) 'dır.
\(f\left ( \mathbf{x}+\delta \mathbf{x} \right ) =f\left ( \mathbf{x} \right )+\mathbf{J}\left ( \mathbf{x} \right )\delta \mathbf{x}\)
formülünden \(\delta \mathbf{x}\) değerini bulalım. Burada \(f\left ( \mathbf{x}+\delta \mathbf{x} \right ) =0\)
\( \delta \mathbf{x}=\mathbf{J}\left ( \mathbf{x} \right )^{-1}\left [ f\left ( \mathbf{x}+\delta \mathbf{x} \right ) - f\left ( \mathbf{x} \right )\right ]\)
\( \delta \mathbf{x}=-\mathbf{J}\left ( \mathbf{x} \right )^{-1} f\left ( \mathbf{x} \right )\)
Devamla,
\( x+\delta \mathbf{x}=x-\mathbf{J}\left ( \mathbf{x} \right )^{-1} f\left ( \mathbf{x} \right )\)
ve
\( x_{n+1}+\delta \mathbf{x}=x_n-\mathbf{J}\left ( \mathbf{x} \right )^{-1} f\left ( \mathbf{x} \right )\)
Burara \(x_n\) n inci iterasyonda bulunan sonuç vektörüdür. Başlangıç vektörü ise \(x_{0}=\left [ x_1,\cdots ,x_N \right ]^{T}\)
Genel ifade
\(\begin{bmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_N\end{bmatrix}_{n+1}=\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_N\end{bmatrix}_{n}-\mathbf{J\left ( x_n \right )}^{-1}\begin{bmatrix}f_1\left ( x_n \right )\\\vdots \\f_N\left ( x_n \right )\end{bmatrix} \)